5.3. 【例題】時間発展シュレディンガー方程式(作成中)

5.3.1. 方程式

1次元の時間発展シュレディンガー方程式を考えます:

(1)i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t)
= \left[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \psi(x,t)

波動関数の時間発展を追うことは普段あまりしないので、数値計算を使って見てみましょう。

まずは無次元化をします。 【例題】量子非調和振動子の固有状態 の例では調和振動子のエネルギー量子 \hbar \omega を使って無次元化しました。 今は V(x) の関数形は特に決めないので、V(x) の関数形に依らない方法で無次元化しましょう。

時刻 t と座標 x の単位としてそれぞれ TX を導入して、 t/T \to t および x/X \to x と無次元化します。 そして、

\frac{\hbar T}{m X^2} = 1

と定義します。 この関係により、TX のどちらか一方のスケールを決めるともう一方が決まります。 以上の操作を行うと、(1) 式は

i \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t)
= \left[-\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + v(x) \right] \psi(x,t)

となります。 ここで、v(x)v(x) \equiv V(x)/(\hbar/T) により無次元化されたポテンシャルです。

各無次元量のスケールを確認するために、例えば X=1\mathrm{\AA} とおくと、他の量は T=??, \hbar/T=?? となります。

課題

量子スケール

5.3.2. 実装

ソースコード schro.py

課題

時間発展シュレディンガー方程式

5.3.3. 結果