3.3. 【例題】スピン演算子¶

注釈

この節は基礎事項の確認です。必要のない人はこの節は飛ばして、多体問題（【例題】量子スピン系（ハイゼンベルグ模型）や【例題】強相関電子系（ハバード模型））に進んでください。

3.3.1. スピン演算子 ¶

量子力学の演算子を数値的に扱う練習として、ここではスピン演算子の交換関係などを計算します。

スピン1/2の演算子 $\hat{S}^z$ の2つの固有状態をケットベクトル $| \uparrow \rangle$ と $| \downarrow \rangle$ で表します。

$\hat{S}^z | \uparrow \rangle &= \frac{\hbar}{2} | \uparrow \rangle \\ \hat{S}^z | \downarrow \rangle &= -\frac{\hbar}{2} | \downarrow \rangle$

プログラム上では、演算子を 行列表現 で表すのが便利です。上の2つの式は、以下の2×2行列にまとめられます。

$S^z = \begin{pmatrix} \langle \uparrow | \hat{S}^z | \uparrow \rangle & \langle \uparrow | \hat{S}^z | \downarrow \rangle \\ \langle \downarrow | \hat{S}^z | \uparrow \rangle & \langle \downarrow | \hat{S}^z | \downarrow \rangle \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

行列表現は基底に依存するということに注意してください。今の場合、 $\hat{S}^z$ の固有ベクトルを基底に選んでいるために、 $S^z$ が対角行列になっています（「z軸を量子化軸に選んだ」と言う）。

量子化軸をz軸にとると、スピン演算子 $S^x, S^y, S^z$ の表現行列は以下で与えられます。

(1)¶ $S^x = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad S^y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad S^z = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

ここで、 $\hbar=1$ としました（無次元化）。

3.3.2. 交換関係 ¶

行列表現 (1) を使って、スピン演算子の交換関係を計算してみます。ここでは、スピン演算子の基本的な交換関係

(2)¶ $[S^{x}, S^{y}] = i S^{z} \\ [S^{y}, S^{z}] = i S^{x} \\ [S^{z}, S^{x}] = i S^{y}$

を確認してみましょう。

ソースコード spin.py

まずはスピン演算子 (1) を定義します。

# Define Sx, Sy, Sz
sx = np.array([[0, 1], [1, 0]]) / 2
sy = np.array([[0, -1j], [1j, 0]]) / 2
sz = np.array([[1, 0], [0, -1]]) / 2

print("Sx =\n", sx)
print("Sy =\n", sy)
print("Sz =\n", sz)

次に、交換関係を計算する関数を作ります。

def commutation(mat1, mat2):
    return mat1 @ mat2 - mat2 @ mat1

演算子が行列表現されているので、演算子同士の積は行列積になります。行列積は @ で計算できます。

あとはこの関数を呼出して、結果を表示するだけです。

# Commutation relation
print("\nCommutation relations")
print("[Sx, Sy] =\n", commutation(sx, sy))  # = i Sz
print("[Sy, Sz] =\n", commutation(sy, sz))  # = i Sx
print("[Sz, Sx] =\n", commutation(sz, sx))  # = i Sy

実行結果 ¶

Sx =
[[0.  0.5]
[0.5 0. ]]
Sy =
[[ 0.+0.j  -0.-0.5j]
[ 0.+0.5j  0.+0.j ]]
Sz =
[[ 0.5  0. ]
[ 0.  -0.5]]

Commutation relations
[Sx, Sy] =
[[0.+0.5j 0.+0.j ]
[0.+0.j  0.-0.5j]]
[Sy, Sz] =
[[0.+0.j  0.+0.5j]
[0.+0.5j 0.+0.j ]]
[Sz, Sx] =
[[ 0.   0.5]
[-0.5  0. ]]

スピンの行列表現 (1) と交換関係 (2) が確認できます。

実習課題 ¶

以下の関係式を確認してみてください。

$[S^z, S^+] &= S^+ \\ [S^z, S^-] &= -S^- \\ \bm{S}^2 &= \frac{3}{4} \bm{1}$

3.3.3. 対角化 ¶

さて、次は (1) 式の行列をx軸を量子化軸に取った表現に変換してみます。

まず、 $S^x$ 行列を対角化します。

# Diagonalize Sx
eigval, eigvec = np.linalg.eigh(sx)
print("\nEigenvalues =\n", eigval)
print("\nEigenvectors (column vectors)=\n", eigvec)

eigval が固有値、eigvec が固有ベクトルを縦ベクトルとして持つ行列です（以下、 $U$ と書きます）。

基底を変換するには、対角化で得られた行列 $U$ を使って、行列積 $S^{\prime x} = U^{\dag} S^x U$ を計算します（今の場合、 $S^{\prime x}$ は対角行列です）。 $S^{y}, S^{z}$ も同じ $U$ を使って基底変換します。

# U = <z|x>
#   |x> : eigenvectors of the Sx operator
#   |z> : eigenvectors of the Sz operator
# u = eigvec
u = eigvec @ np.diag([-1j, 1])
print(u)
print(u.conj().T @ u)

# Transform ops from |z> to |x>
sx_2 = u.conj().T @ sx @ u
sy_2 = u.conj().T @ sy @ u
sz_2 = u.conj().T @ sz @ u
print("\nAfter basis transform")
print("Sx' =\n", sx_2.round(10))
print("Sy' =\n", sy_2.round(10))
print("Sz' =\n", sz_2.round(10))

u.conj().T は行列のエルミート共役です（複素共役＋転置）。 round は指定された桁（この例では小数点以下10桁）で四捨五入をする関数です。丸め誤差を除去しています。

実行結果 ¶

Eigenvalues =
[-0.5  0.5]

Eigenvectors (column vectors)=
[[-0.70710678  0.70710678]
[ 0.70710678  0.70710678]]

After basis transform
Sx' =
[[-0.5 -0. ]
[ 0.   0.5]]
Sy' =
[[0.+0.j  0.+0.5j]
[0.-0.5j 0.-0.j ]]
Sz' =
[[-0.  -0.5]
[-0.5 -0. ]]

Sx'が対角化されていることが確認できます。また、(1) 式と比べると、Sx'∝Sz, Sy'∝Sy, Sz'∝Sx という関係が確認できます。したがって、変換後の基底は、x軸を量子化軸とした、左手系の基底になっているといえます。

注釈

x軸を量子化軸とした右手系の表現を得るには、どのような変換を行えばよいでしょうか。

3.3.4. 角運動量の合成 ¶

課題

S=1/2とL=1の合成

3.3. 【例題】スピン演算子¶

3.3.1. スピン演算子 ¶

3.3.2. 交換関係 ¶

実行結果 ¶

実習課題 ¶

3.3.3. 対角化 ¶

実行結果 ¶

3.3.4. 角運動量の合成 ¶

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