5.3. 【例題】時間発展シュレディンガー方程式（作成中）¶

5.3.1. 方程式 ¶

1次元の時間発展シュレディンガー方程式を考えます：

(1)¶ $i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \psi(x,t)$

波動関数の時間発展を追うことは普段あまりしないので、数値計算を使って見てみましょう。

まずは無次元化をします。【例題】量子非調和振動子の固有状態の例では調和振動子のエネルギー量子 $\hbar \omega$ を使って無次元化しました。今は $V(x)$ の関数形は特に決めないので、 $V(x)$ の関数形に依らない方法で無次元化しましょう。

時刻 $t$ と座標 $x$ の単位としてそれぞれ $T$ と $X$ を導入して、 $t/T \to t$ および $x/X \to x$ と無次元化します。そして、

$\frac{\hbar T}{m X^2} = 1$

と定義します。この関係により、 $T$ と $X$ のどちらか一方のスケールを決めるともう一方が決まります。以上の操作を行うと、(1) 式は

$i \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \left[-\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + v(x) \right] \psi(x,t)$

となります。ここで、 $v(x)$ は $v(x) \equiv V(x)/(\hbar/T)$ により無次元化されたポテンシャルです。

波束がポテンシャル障壁で反射あるいは障壁を透過する例。

ポテンシャル障壁の幅 $L=1$

ポテンシャル障壁の幅 $L=0.2$